1αf”1＝αf”0＝1้2
我将考虑三种方法，即使在无限类的情况下，也给予这直觉的“较多”或“较少”一个精确的意义，以便找出其中ณ哪一种可用来比较被禁止的事件类。
这些就是我所以建议必须以经验科学的方法作为它的特征的理由。这里说的方法就是：我们处理科学理论的方式；我们用它做些什么เ，我们对它做些什么。因此，我将设法建立一些规则ท，或者可以说规范，来指导科学家去进行研究，或者说，在这里所理解的意义แ下的科学现。
第一章对于若干基本问题的考察
根据第6๔6节，公认的基础陈述可以多少令人满意地与某种所提出的概率估计一致；它们可更好或稍差ๆ一些代表概ฐ率序列的一个典型节段。这为某种方แ法论规则ท的应用提供了机会，例如要求基础陈述和概率估计之ใ间的一致应该符合某种最低限度标准这一规则。因此规则ท可引出某种任意的思路，并且规定只有适当代表性的节段或适当“公平的样本”才得以“允许”，而不典型的或没有代表性的节段是被禁止的。
对这种意见作更仔细的分析向我们表明，什么เ被允许和什么被禁止之间的分界线的划ฐ定并不一定像起初ม想象的那样任意。尤其是无需“宽容地”划ฐ定这条分界线。因为ฦ有可能用这种方แ式形成这条规则ท，使什么เ被允许和什么被禁止之ใ间的分界ศ线，正如其他定律的情况一样，由我们的测量能达到的精确度来决定。
我们根据划界标准提出的方แ法论规则，不禁止不典型节段的出现；它也不禁止离差当然，对于概ฐ率序列ต是不典型的的重复出现。这条规则禁止的是系统离差的出现可预ไ测和可复制ๆ，例如朝特定方向的离差，或肯定是不典型的节段的出现。因此它要求的不单是粗略๓的一致，而是对于可复制和可检验的一切，简言之，对于所有的可复制效应可能是最佳的一致。
69．定律和机遇
人们有时听说，行星的运动服从严格的定律，而一粒骰子的掷下是碰运气，或受机遇支配。我认为ฦ区别在于这个事实：迄今我们已能ม成功地预测行星的运动，但还不能预测掷骰子的个ฐ别结果。
为了演绎出预ไ见，人们需要定律和初始条件；如果没有合适的定律或不能确定初始条件，科学的预见方法就垮台。掷骰子时我们所缺乏的显然是初始条件的充分知识。有了初ม始条件的足够精确的测定，也就有可能ม在这种情况下作出预ไ见；但是选定正确掷骰子的规则摇摇骰子盒是为了防止我们测量初始条件。游戏规则以及确定某一随机序列的各种事件必将生的那些条件的其他规则，我称之为ฦ“框架条件”。它们由这样一些要求组成，如骰子应该是“纯的”由á同质物质组成，应该把它们好好地摇摇等等。
有一些其他情况，预见是不成功的。也许迄今还不可能ม提出合适的定律；也许现一个ฐ定律的所有尝试都已๐失败，并且所有的预见也被证伪。在这些情况下我们可能对究竟是否会找到一个满意的定律已失望。但是大概ฐ我们不会放弃尝试，除非问题已使我们不大感兴趣——例如如果我们满足于频率预ไ测，就是这种情况。然而，无论如何，我们不能定论地说，在某个特定的领ๆ域没有定律。这是证实不可能ม性的一个结果。这就是说，我的观点使机遇概念成为主观的。当我们的知识不足以作出预见时我就说“机遇”；正如掷骰子时，我们说“机遇”，因为ฦ我们对初始条件没有知识。可以设想，仪器设备精良的物理学家，能观测其他人预测不到的一次掷骰子的结果。
与这种主观观点相反，人们有时支持一种客观的观点。就这种观点利ำ用事件本身是指决定的还是不决定的这种形而上学观念而言，我将不在这里对这种观点作进一步的考察参阅第71้和78๖节。如果我们的预见获得成功，我们可以谈到“定律”；否则我们对定律或不规则ท性的存在或不存在不可能有任何知识。
也许比这个ฐ形而上学观念更值得考虑的是下面的观点。可以说，当我们的概率估计得到เ验证时，我们遇到客观意义แ上的“机遇”；正如当我们遇到因果规律性时一样。
蕴涵在这观点中的机遇定义แ可能ม不全是无用的，但是应该有力强调，如此定义的概念并不与定律概念相对立：正是由于这个ฐ理由á我称概念序列是似机遇的。一般地说，一个ฐ实验结果的序列是似机遇的，如果定义แ序列的框架条件不同于初始条件的话；当在同一框架条件下进行的个ฐ别实验，在不同的初ม始条件下进行时，就会产生不同的结果。其元素根本不可预测的似机遇序列是否存在，我不知道。我们甚至不能ม从某个序列是似机遇的这个ฐ事实，推论出它的元素是不可预测的，还是或者推论出它们“由于”在主ว观的知识不足意义上的“机遇”所致；我们尤其不能ม从这个ฐ事实推论出定律不存在的“客观”事实。
不仅不可能从序列ต的似机遇性质中ณ推论出任何与定律一致的东西，或者在另一方面与个ฐ别事件一致的东西；甚至不可能从概ฐ率估计的验证推论出序列本身是完全不规则的。因为我们知道似机遇序列ต是存在的，这些序列ต是根据数学规则ท建构的。一个序列具有Bernoulli分布这个事实不是不存在定律的征候，与“根据定义”不存在定律完全不是一回事。我们在概ฐ率预ไ测成功中看到的不过是在序列ต结构中不存在简单定律的征候参阅第4๒3和4๒8节——与构成序列ต的事件相反。不受后效约束的假定相当于这样的假说：这种简单的定律是不可现的，这个假定得到验证，但这就是一切。
70่．从微观定律推演宏观定律的可能ม性
有一种学说几乎已成为偏见，虽然它在最近已受到严厉的批评——所有可观察的事件必须解释为ฦ宏观事件，即解释为一些微观事件的平均数或累็计或总和的学说这个ฐ学说有点类似某些形式的唯物主义。像其他这种学说一样，这似是某一方法论规则ท的形而上学具体化，而这条规则本身是完全无可非议的。我指的是这条规则：我们应该看看我们是否能用上述类型的解释性假说简化、概ฐ括或统一我们的理论。在评论这些尝试的成功时，认为ฦ关于微观事件的非统计假说及其相互作用定律就能足以说明宏观事件，这是个错误。除此以外，我们应该需要假说性的频๗率估计，因为ฦ从统计前提中ณ只能推导出统计结论。这些频率估计总是独立的假说，当我们从事研究与微观事件有关的定律时，这些假说的确不时出现在我们脑中ณ，但是它们决不能从这些定律中ณ推导出来。频率估计形成一类特殊的假说：一般地说，它们是与规律性有关的禁律。vonmises对这一点说得十分清楚：“没有统计学性质的补充假定，在气体动力理论中ณ甚至最微不足道的定理也不是单从经典物理学中推导出来的”。
统计学估计或频率陈述决不能ม从“决定论”性质的定律中推导出来，理由á是为ฦ了从这些定律中演绎出任何预见，需要初始条件。在初ม始条件那里，关于初始条件统计学分布的假定——也就是说特定的统计学假定——进入了演绎过程，统计学定律就是通过演绎从决定论性质或“精确”性质的微观假定中获得的。
理论物理学的频率假定在一定程度上是等机遇假说，这是一个ฐ令人惊异的事实，但这无论如何并不是意味着它们是“自明的”，或先验地正确的。它们远非如此，这一点从经典统计学、Bose－einstein统计学和fermi－diracນ统计学之间的广泛差ๆ异中就可看到。这些表明特定的假定如何可与一个等机遇的假说结合起来，在每一种情况下都导致参考序列的主要性质假定其分布是均等的的不同定义แ。
下面的例子也许可证明这个ฐ事实：甚至当我们想摆脱频๗率假定时，它们也是必不可少的。
想象一个瀑布。我们可辨认某种奇特的规律性：组成瀑布的水流的大小是变化的；不时地飞溅从主ว流中甩出来；然而在贯穿所有这些变化中ณ，某种规律性明显可见，它强烈提示有一种统计学效应。尽管有一些尚未解诀的液ຂ体动力学问题与涡流的形成有关等等，我们在原则上能够以任何所需程度的精确性，预测任何量水——比方แ说一组分子——的路线，如果给定足够精确的初始条件的话。因此我们可以假定，有可能预ไ言远在瀑布之上的任何分子，在哪一点上它将越过边缘，到เ达底部等等。这样原则ท上可计算出任何数量分子的路线；并且给定充分的初ม始条件，我们就能在原则ท上演绎出瀑布的任何一种个别的统计学涨落。但是只能ม是这种或那ว种个别的涨落的，而不是我们已描述过的反复生的统计学规律性，一般统计学分布就更不行了。为了说明这些，我们需要统计学估计——至少假定某些初ม始条件对于许多不同组的粒子等于一个ฐ全称陈述将一次又一次地反复出现。我们获得一个统计结果，当且仅当我们作出这些特定的统计学假定——例如关于反复出现的初始条件频率分布的假定——时。
71．形式上单称的概ฐ率陈述
我称一个概ฐ率陈述为ฦ“形式上单称的”，当它把某一概率赋予某个单一偶事件或某类偶事件的单个ฐ元素时；例如，“用这个骰子掷下一次得5的概率是1／6”或“用这个ฐ骰子掷任何一次得5的概率是1／6”。从频๗率理论观点看，一般认为这些陈述是不十分正确的表述，因为ฦ不能把概率归之ใ于单个偶事件，而只能ม归之于偶事件或事件有限序列。然而借助客观概率或相对频๗率概ฐ念用适当定义แ的形式上单称的概率把这些陈述解释为正确的陈述是容易的。我用“pαkβ”表示这形式上单称的概率：作为序列α的一个元素，某一偶事件k有性质β——符号为keα——于是我定义形式上单称的概ฐ率如下；
pαkβ＝αfβkeα定义แ这可用文字表达如下：事件k具有性质β——设k为ฦ序列ตα的一个ฐ元素า——的形式上单称的概ฐ率，根据定义แ等于性质β在参考序列α内的概ฐ率。
这个简单的几乎一目了然的定义证明令人惊异地有用。它甚至可帮助我们澄清现代量予理论的某些复杂问题参阅第7๕5－7๕6节。
正如定义所表明的，如果一个ฐ形式上单称的概率陈述没有明确说出一个参考类，它就是不完全的。但是虽然α常常没有明确提及，在这些情况下我们往往知道α是什么เ意思，因此上述第一个例子没有具体规定任何参考序列ตα，但是十分清楚它与掷真的骰子的所有序列有关。
在许多情况下，对一个ฐ事件k可以有若干不同的参考序列ต。在这些情况下非常明显，对同一事件可以作出不同的形式上单称的概ฐ率陈述。因此一个个别的人k将在一定时期内死亡这种概率可根据我们认为ฦ他是他的年龄组的一员，还是他的职业组的一员等等来假定十分不同的值。对于应该从若干可能的参考类中选定哪一个ฐ，不可能ม制ๆ定一个ฐ一般规则。最窄的参考类往往最合适，假如它多到เ足以使概率陈述立足于合理的统计外推，并且得到足够量验证证据的支持的话。
一旦我们认识到เ同一偶事件或事件可以有不同的概ฐ率，作为不同参考类的一个元素，不少所谓概率悖论就消เ失了。例如，有时有人说，一个ฐ事件的概率αpkβ在它出现以前不同于同一事件在它出现以后的概ฐ率：在以前它等于1／6๔，而在以后可能ม只等于1้或0่。当然这个ฐ观点是完全错误的。αpkβ在出现以前和以后总是相同的。除了根据信息keβ或ke——根据时偶事件的观察提供给我们的信息——我们可选取一个ฐ新的参考类，即β或，然后向βpkβ值是什么以外，什么เ也没有变化。这个概ฐ率值当然是1；而pkβ＝0่。告诉给我们关于单个偶事件实际结局的陈述——不是关于某个ฐ频率，而是关于“keφ”形式的陈述——不能改变这些偶事件的概率；然而，它们可提示ิ我们选取另一个参考类。
形式上单称的概ฐ率陈述概ฐ念提供了一种通向主观理论，从而也就通向域raທnge理论的桥梁，正如下节将表明的那ว样。因为我们会同意把形式上全称的概率解释为“理性信仰程度”依照keynes——假如我们允许我们的“理性信仰”受某一客观的频๗率陈述指导的话。因此这种陈述还是我们的信仰所依靠的信息。换言之，也可能ม有这样的事：我们除了知道某个ฐ事件属于某一参考类，某个概率估计在其中受到เ了成功的检验外，对它一无所知。这个信息并不能ม使我们预见这个ฐ事件的性质将是什么；但是它能使我们表达借助某种形式上单称的概率陈述知道它的一切，这种陈述看起来像关于所谈论的特定事件的不确定预见。
因此，我不反对关于单个事件概率陈述的主观解释，即解释为不确定的预见——可以说，承认我们对所谈论的特定事件缺乏知识的确，关于这个ฐ事件什么เ结论也不能从某个频๗率陈述中得出。那就是说，我不反对概率陈述的主ว观解释，只要我们明确承认客观频๗率陈述是基本的，因为只有它们是可用经验检验的。然而，我反对把这些形式上单称的概率陈述——这些不确定预ไ见——解释为关于客观事态的陈述，但不反对解释为客观统计事态的陈述。我脑子里有这样一种观点：关于掷骰子概率为1้／6๔的一个陈述不仅是承认我们不知道任何确定的事情主观理论，而且是关于掷下一次的断言——断ษ言它的结果客观上既是不确定的又是非决定的——是关于某种仍悬而未决的事情的断ษ言。我认为ฦ所有作出这种客观解释除了别人外，eans作过充分的讨论的尝试都是错误的。不管这些解释可能造成一些什么样的非决定论气氛，它们全都包含这样的形而上学思想：不仅我们能ม演绎出和检验预见，并且除此之ใ外自然界ศ或多或少是“决定的”或“非决定的”；因此预ไ见的成败不应用它们由之ใ演绎出来的定律来解释，而是先由这样一个事实来解释：自然界实际上是或不是根据这些定律组成的。
72．域理论
我在第34๒节中说，一个ฐ可证伪程度比另一陈述更高的陈述可被描述为逻辑上更不可几的陈述；而不那ว么เ可证协的陈述则是逻辑上更可几的陈述。逻辑上不那ว么可几的陈述衍推出逻辑上更可几的陈述。在逻辑概ฐ率概念和客观的或形式上单称的数值概率概ฐ念之ใ间有密切关系。某些概率哲学家Bolzano，vonkries，9aທismaທnn曾试图把概ฐ率计算立足于逻辑域，因此立足于一个与逻辑概率一致的概ฐ念参阅第37节；并且他们在这样做时，也试图弄清逻辑概ฐ率与数值概率之间的密切关系。
9aismann曾建议用与不同陈述相应的相对频率测定它们逻辑域之ใ间的相互关系程度可以说它们的比值，从而把频๗率看作为决定一个测定域的系统的东西。我认为ฦ在此基础上建立概率论是可行的。的确我们可以说，这个计划ฐ就是使相对频率同某些“不确定的预见”相关起来——正如当我们定义แ形式上的单称概率陈述时在前一节已经做的一样。
然而必须ี说，仅当一个ฐ频率理论已经建构时，这种定义แ概率的方แ法才是可行的。否则人们就得问在定义测定系统时使用的频๗率本身又是如何定义的。然而，如果我们手中ณ已经有某个频๗率理论，那么เ引入域理论实际上就成为多余的。但是尽管有这种异议，我认为9aທismaທnn建议的可行性是重要的。现一个更全面的理论能ม够填补解决这个问题的各种尝试之ใ间，尤其是在主观和客观解释之间的鸿沟——起初ม似乎是不可填补的。然而9aismann的建议要求作一点修改。他的域比值概ฐ念参阅第48节注不仅要求域能借助它们的子类关系或它们的衍推关系加以比较；而且它更一般地要求使甚至只是部分交迭的域不可比较的陈述的域也能够成为可以比较的。然而这后一个假定有相当的困难，它是多余的。有可能ม表明，在有关的情况下为随机情况子类的比较和频率的比较必定导致类似的结果。这证明为ฦ了测定域而把频率与域相关起来的方แ法是对的。我们在这样做时，就使所谈论的陈述按子类方法是不可比较的成为可以比较的。我将粗略๓地表明所描述的方แ法如何可得到证明。
如果在两个ฐ性质类γ和β之间，子类关系
γB
成立，则：
k〔fsbkeγ≥fsbkeβ〕参阅第3๑3节
因此逻辑概率或陈述keγ的域必须小于或等于keβ的域。它将是相等的，仅当有一个参考类α它可以是全称类时，对于这个参考类下列规则成立，这个规则可以说具有“自然律”的形式：
x{xeα．β→xeγ}α．β
如果这种“自然律”不成立，因此我们可假定在这个方面有随机性，那么不等性就成立。但是在这个情况下我们就得到下式，假如α是可数的，并可承认为一个参考序列：
αfγ＜αfβ
这就是说，在随意性情况下，域的比较必须ี导致同样的不等性，正如相对频๗率的比较一样。因此，如果我们有随机性，我们就可把相对频率同域相关起来，以使域成为ฦ可测量的。但是这正是我们在第71节中ณ当我们定义形式上单称的概ฐ率陈述时所做的虽然是间接地。的确，我们可以从这些假定中ณ直接推论出
αpkγ＜αpkβ
这样我们就回到了我们的出点，概ฐ率解释问题。并且我们现在现，客观和主ว观理论之ใ间的冲突，初看似乎是如此难办，可用某种一目了然的形式上单称的概率的定义แ来完全消除。
第九章对量子论的若干意见
我们对概率论的分析，已๐使我们掌握一些工具，我们现在可通过应用它们于现代科学一个ฐ主要问题来检验它们；并且我将借它们之助试图分析和澄清现代量子论若干更为ฦ模糊不清的论点。
我用哲学或逻辑方法解决物理学中ณ心问题之一的有点大胆的尝试，必定会引起物理学家的怀疑。我承认他的怀疑是正当的，他的怀疑是有充分根据的，然而我希望我也许能ม够克服他们。同时，值得注意的是在每门科学分支中，成堆的问题主要是逻辑的。量子物理学家一直渴望参与认识论讨论，这是事实。这提示ิ他们本身感到เ量子论中ณ某些仍未解决的问题的解法不得不在逻辑与物理学之间的无人岛上寻找。
我将开始就预先记下将从我的分析中得出的主ว要结论。
1量子论中有一些数学公式被heisenbຘerg用他的测不准原理加以解释；即关于由á于我们在测量时达到เ的精确性的限制ๆ所致的测不准域的陈述。我将试图证明，这些公式应解释为ฦ形式上单称的概率陈述参阅第71节；这意味着它们本身必须用统计学来加以解释。对这个ฐ公式作如此解释就是断言：在统计学上“分散”或“方แ差”或“离散”的某些域之间有一定的关系它们在这里被称为ฦ“统计学的离散关系”。
2我将要试图证明，比测不准原理允许的精确性程度更高的测量与量子论的公式系统或及其统计学解释并不是不相容的。因此如果这样一种精确度终究成为可能，量子论不一定被反驳。
3所以heisenberg所断言的可达到的精确性极限的存在，并不是从理论公式中ณ演绎出来的逻辑推断ษ，更确切地说，它是一个孤立的或附加的假定。
4此外，正如我将试图证明的那样，如果量子论的公式在统计学上得到解释，那么heisenberg的这个ฐ假定实际上与这些公式是矛盾的。因为不仅更精确的测量与量子论相容，而且甚至有可能ม描述表明更确切的测定有可能的想象实验。在我看来，正是这个矛盾引起了所有那ว些困难，现代量子物理学的令人赞叹的结构就受这些困难困扰；以致thirring谈到เ量子论时说，它“留下了一个难解的秘密给它的创始人，这是他们自己承认的”。
下面所述也许可描述为ฦ对量子论基础的研究。在这个研究中，我将避免一切数学论证和一切数学公式，除一个例外。这是可能的，因为我将不对量子论数学公式系统的正确性提出疑问，我将只关心归功于Bohn的物理解释的逻辑推断。
至于“因果性”的争论，我提出不同于现在如此流行的非决定论形而上学的意见。非决定论形而上学与直到เ最近才在物理学家中风行的决定论形而上学的区别ี，与其说在于它非常清晰，不如说它极无成果。
在清晰性方面，我的批判常常是严厉的。所以不妨可以在这里说我认为现代量子论创始人的成就是整个科学史上最伟大的成就之ใ一。
73．heisenberg的纲领ๆ和测不准关系