2维的概念。立方体以某种方式包含比直线更多的点，这个模糊的直观的观念，能ม够通过集合论的“维”概念以逻辑上无懈า可击的术语清楚地表述。这种概念对点的类或集是按照在它们的元素า之ใ间的“邻域关系”的丰度加以区别ี的：更高维的集具有更丰富的领ๆ域关系。维的概念，使我们能比较“较高”和“较低”维的类，这里将被用来处理比较可检验度的问题。这是可能ม的，因为基础陈述通过和其他基础陈述的合取结合起来又产生基础陈述，这个ฐ新产生的基础陈述比它们的组成部分“具有更高的复合度”；而基础陈述的这个复合度可以和维的概念联系起来。不过，必须使用被允许的事件的复合而不是被禁止的事件的复合。理由是，一个理论禁止的事件可以有任何复合度；另一方面，某些被允许的陈述之所以被允许，只是因为它们的形式，或者更确切地说，因为它们的复合度太低，以致使它们不能ม和该理论相矛盾；可以利用这个ฐ事实来比较维。
人们回答这些问题的方แ式，主要依赖于他们对科学的态度。像实证主ว义者那样的人，他们把经验科学看作满足诸如有意义性或可证实性等一定逻辑标准的陈述系统，会做出一种回答。有些人包括我在内，看到เ经验陈述易于修正的突出的特性——人们可以批判它们，也可以用更好的陈述来代替它们；这些人认为它们的工ื作就是去分析科学取得进展的能ม力，以及在决定性的场合，在互相矛盾的理论系统之ใ间作出选择的独特方แ法。这些人对上述问题就会做出很不同的回答。
2๐．心理学主义แ的排除
一种二择一的结构可以是有规律的，或者它也可能ม是多少不规则的。下面我将更周密地研究某些有穷二择一的这种规律性或不规则ท性。
55．有穷序列的n-ๅ自由á度
让我们以有穷二择一α为ฦ例，它由á一个个1和0组成，有规律地排列如下：
α1้10่0่110011้00่1้100……在这种二择一中，我们有均等的分布，即1้和0的相对频率是均等的。如果我们用“f”1”示ิ性质1้的相对频率，用“f”0่”示性质0的相对频率，我们可写：
1้αf”1＝αf”0＝1้2
现在我们从α中选择在α序列内具有直接接在1后面的邻๑域性质的所有项。如果我们用“β”表示ิ这种性质，我们可称为所选子序列ต“α·β“。它有这样的结构：
α·β10101้01้010……
这个序列又是具有均等分布的一种二择一。而且，1和0的相对频๗率都没有变化；即
2α·βf”1้＝αf”1้；α·βf”0＝αf”0่
用第53๑节采用的术语，我们可以说二择一α的主要性质不受根据性质β作的选择的影响；简言之ใ，α不受根据β作的选择的影响。
由于α的每一个元素或具有性质β即是1的后续者或是0่的后续者，我们可用“”表示后一性质。如果我们现在选择具有性质的元素า，我们得到这样的二择一：
α·01้010่101้010……
这个ฐ序列离均等分布稍有偏差，因为它的始末都是0่因为均等分布a本身以“0่’0่”结尾。如果a有2๐0่00่个元素，那么α·将有500่个0，只有4๒9๗9个1。这些离均等分布或其他分布的偏差ๆ只是因第一个元素或最后一个ฐ元素า而引起的，可通过使序列足够长而使这些离差变得如我们喜欢的那ว么小。由于这个理由á在下面我们将置这些偏差ๆ于不顾；尤其是我们研究的是无穷序列，在那里这些离差就消เ失了。因此，我们说，二择一α·β有均等的分布，并且二择一α不受有性质的元素的选择的影响。结果，α，或更确切地说，α的主要性质的相对频率都不受根据β和根据作的选择的影响；所以我们可以说，α都不受根据直接先行者的性质所作的每一种选择的影响。
显然，这种无影响是由á于二择一α结构的某些方面所致；这些方แ面可把α与其他二择一区分开来。例如，二择一α．β和α．并非不受根据先行者的性质所作的选择的影响。
现在我们可以研究二择一α，看看它是否也不受其他选择，尤其是根据一对先行者的性质所作的选择的影响。例如，我们可从α中ณ选择那ว些是一对1้，1的后续者的所有元素า。并且我们马上看到α并非不受四种可能ม的对即1，1้；1，0；01；0，0่中ณ任何一对后续者的选择的影响。在这些情况下，得到เ的子序列都没有均等分布；反之，它们全都由á不间断的块blo9๗s组成，即只由1，或只由á0组成。
α不受根据单个先行者作的选择的影响，但是并非不受根据成对先行者的选择的影响，这个ฐ事实可用主观理论的观点表述如下。关于α中任何元素一个先行者性质的信息，对于这个元素的性质问题是无关的。另一方面，关于元素า的成对先行者的性质的信息则是高度有关的；因为给定α据以建立的定律，它使我们能ม够预测所讨论的元素的性质：关于元素成对先行者性质的信息，可以说给我们提供演绎出预ไ测所需的初ม始条件。a据以建立的定律要求一对性质作为ฦ初始条件；因此就这些性质而言，它是“二维的”。详细说明一种性质仅是在成为复合时作为初始条件不充分时才是“无关的”。参阅第3๑8节。
我没有忘记因果性——原因和结果——概念与预ไ测的演绎的关系是多么เ密切，同时我要利ำ用下列术语。以前作出的关于二择一α的断言：“α不受根据单个ฐ先行者作的选择的影响”，我现在用下列ต说法来表示：“α不受单个先行者任何后效的约束”，或简言之ใ，“α的自由度为11－free”。不像以前那么เ说α“不受或受根据成对先行者所作的选择的影响”，我现在说：“a不受或受成对先行者后效的约束”，或简言之，“α的自由á度是不是2”。
用自由度为1้的二择一作为我们的原型，我们现在能够容易地建立也具有均等分布的其他序列，这些序列不仅不受一个ฐ先行者的后效约束，即像α一样自由度为ฦ1，而且还不受一对先行者后效的约束，即自由á度为ฦ2；此后，我们可以继续达到เ自由á度为3๑等等的序列。这样把我们引导到对下述是基本的一般概ฐ念。这就是不受直至某个数n的一切先行者后效约束的自由á度概ฐ念；或者如我们将要说的，n-ๅ自白度概念。更精确地说，我们称一个序列ต“自由度为ฦn”，当且仅当它的主ว要性质的相对频率是“n重无影响”，即不受根据单个先行者和根据成对先行者和根据三个ฐ一组的先行者……和根据n个一组先行者作的选择的影响。
自由度为1的二择一α可以用重复任何倍数的生成周期generatingperiod。
A110่0……
来建立。同样我们获得具有均等分布的自由度为ฦ2的二择一，如果我们把
B10่1110่00……
作为ฦ它的生成周期，自由度为ฦ3的二择一从生成周期
c1011000่0่11้11้0100……
中获得，而自由度为4的二择一从生成周期
d0110่0่011101้01้001้000่0่01้011้1110011้……
中获得。将会看到：面临一个不规则ท序列的直觉印象随它n自由á度的数n的增长而越强烈。
具有均等分布的一个具n自由á度的二择一的生成周期必须ี包含至少2n＋1个ฐ元素，作为例子给定的周期，当然可以开始于不同的位置；cນ例如可从它的第四个ฐ元素า开始，于是我们获得的不是cນ，而是
c’10่000่1้11101้0่01้0่1้……
有使序列的n-自由á度不变的其他变换。为每一个ฐ数目n建立n-自由度序列生成周期的方法则ท在别处描述。
如果我们把下一生成周期的最初ม的n个元素加在一个ฐ自由á度为n的二择一上，于是我们得到เ一个长度为2n＋1้＋n的序列。除了其他性质外，这个序列ต还有以下的性质：n＋1个ฐ0和1้的每一种排列ต，即每一个ฐ可能的n＋1个组，至少在其中生过一次。
56．节段序列ต二项式的第一形式
给定一个有穷的序列ตα，我们称由n个连续元素า组成的α的子系列ต为‘’α的n长度节段”；或更简单地说，“α的n-ๅ节段”。如果除了序列α以外，还给定某个定数n，那ว么我们能ม够把α的n-节段排列ต在一个序列中——α的n-节段序列ต。给定一个序列ตα，我们就可以从α的最初的n个元素า的节段开始这种方式，建立一个ฐ新的序列ต，即α的n-节段序列。其次是α的2到n＋1้的元素า的节段。一般地说，我们把α的从x到x＋n－1的诸元素组成的节段看作新า序列ต的第x个元素。如此获得的新序列ต可称为“α的交迭n-节段overlappingn一segments序列”。这个ฐ名称表示，新序列的任何两个连续元素即节段以这种方式交迭；使它们共有原先序列α的n－1้元素า。
现在我们通过选择可以从一个ฐ交迭节段的序列中，获得其他序列，尤其是毗邻n-节段adoiningn-segments的序列ต。
一个毗邻n-节段序列ต只含这样一些n-节段，它们在不交迭的α中，互相直接接续。例如开始也许是原先序列α的编号为1至n的元素的n-节段，续在后面的是n＋1至2๐n，2n＋1至3n如此等等的元素的n-节段。一般来说，一个毗邻节段的序列将以α的第k个元素า开始，而它的节段将包含α的编号为直至n＋k－1，n＋k至2n＋k－1，2๐n＋k至3n＋k-ๅ1如此等等的元素。
下面将用“αn”示ิα的交迭n-节段的序列，用“αn”示ิ毗邻n-ๅ节段序列ต。
现在让我们更详细一点考虑交迭节段αn的诸序列。这样一种节段的每一个ฐ元素า是α的一个n－节段。我们可以把例如组成节段的n个一组的有序的0和1้看作是αn一个元素的主要性质。或者我们可以更为ฦ简单地把它的1้的数目看作是这个元素不管1้和0的次序的主要性质。如果我们用“m”表示1้的数目，则显然m≤n。
现在我们又从每一个序列αn得到เ一个二择一。如果我们选择一个特定的mm≤n，并将性质“m”赋予序列ตαn的正好有m个1所以有n－m个0的每一个元素，并且把性质“”非m赋予αn的所有其他元素的话。因此αn的每一个ฐ元素า必定有这两个ฐ性质中的一个ฐ或另一个。
现在让我们再次设想，给定一个ฐ具有主ว要性质“1”和“0”的一个有穷二择一。设1的频率αf”1等于p，0่的频率αf”0等于q。我们设分布是不均等的，即p≠q。
现在让这个二择一α至少有n－1个自由度n是任意挑选的自然数。于是我们可向下列的问题：性质m在序列αn中出现的频๗率是多少？换言之，αnf”m的值是多少？
除了α至少有n－1个ฐ自由á度外，我们什么也不假定，我们就能用初等算术解决这个问题。答案包含在下列ต公式中ณ：
1αnf”m＝
“二项”式1้的右边是由ne9ton在论述有关别ี的问题时提出的有时称为ฦne9๗ton公式。我将称它为ฦ“二项式的第一形式”。
由于推导出了这个ฐ公式我就不再在有穷参考类内考察频๗率理论。这个公式将提供给我们一个基础来讨论随机公理。
5๓7无穷序列频๗率的假说性估计
把为n－自由度有穷序列获得的结果推广到用生成周期参阅第55๓节定义的n－自由度无穷序列是十分容易的。起着参考类我们的相对频率与此有关作用的一个无穷的元素า序列可称为“参考序列”。它多少与vonmises意义上的“集合”相对应。
n－自由度的概念以相对频率的概ฐ念为前提；因为n－自由度的定义要求不受影响——不受根据一定的先行者所作的选择的影响——的是一种性质在其中ณ生的相对频率。在我们讨论有穷序列ต的定理中ณ，我将暂时使用直到เ第64节相对频๗率极限值用f’表示ิ概ฐ念代替有穷类的相对频率f”。只要我们把自己限于根据某个数学规则建立的参考序列ต，这个概念的使用就不会生问题。对于这些序列我们总可以确定相应的相对频率序列是否是收敛的。相对频率极限值概ฐ念只是在没有数学规则只有经验规则与例如钱卜序列ต有关的的序列的情况下才会引起麻烦；因为在这些情况下，极限值概ฐ念是未定义แ的参阅第51้节。
建立序列的数学规则的一个ฐ例子如下：“序列α的第n个ฐ元素应该是0，当且仅当n可被4๒除”。它定义แ的无穷二择一是
α1้1้10่1110……
其相对频率的极限值αf’1＝3／4；αf’0่＝1／4。借助数学规则用这种方แ法定义แ的序列ต我简称为ฦ“数学序列ต”。
与之相对照ั，建立经验序列的规则是例如“序列α的第n个ฐ元素将是0่，当且仅当硬币9次掷猜出现反面时”。但是经验规则不一定总是定义แ随机性质的序列ต。例如，我应该把下列规则ท称为ฦ经验规则：“序列的第n个ฐ元素将是1，当且仅当第n秒从某个零时算起时，现摆p摆到这标记的左方แ时”。
这个例子表明有时——例如根据与摆有关的一些假说和测量——可用数学规则ท代替经验规则。用这种方แ法我们会找到一个ฐ数学序列，它以按我们的目的也许使我们满意，也许不能使我们满意的精确度接近于我们的经验序列ต。有可能我们的例子可用来建立这种可能ม获得一个其各种频率接近于那ว些经验序列ต的频๗率，在我们目前的情况下具有特殊的意义แ。
我把序列ต分为数学序列和经验序列时，我利ำ用的是“内包”上的差别，不是“外延”上的差别。因为如果用“外延”方法，即用一个ฐ接一个ฐ地列举其元素า的方法使我们得一个ฐ序列－－因此我们就只能知道它的一个有穷的片段，一个有穷的节段，不管它有多长——，那么เ就不可能根据这个节段的性质确定其一部分的序列是学序列还是经验序列。仅当给定一个建构规则——即“内包”规则—一时，我们就能判ศ定一个序列ต是否是数学的还是经验数的。由于我们希望借极限值相对频率概念之ใ助处理我们的无穷序列，我们必须ี把我们的研究限于数学序列ต，实际上就是限于相应的相对频率序列是收敛的那ว些数学序列。这种限制等于引入收敛公理。与这公理有关的问题到เ第63๑－6๔6๔节再讨论，因为与“大数定律”一起讨论它们比较方便。
因此我们将只谈数学序列。然而我们将只谈那些数学序列：我们期望或推测它们就频率而言接近于具有似机遇或随机性质的经验序列ต，因为它们是我们的主要兴趣所在。但是期望或推测一个数学序列ต，就频๗率而言它接近于经验序列，不过是提出一个假说——一个关于经验序列频率的假说。