我们不容易躲开这个困难。即使我们为作比较而考虑被禁止的事件类，而不考虑被禁止的基础陈述或偶事件，为了弄清其中哪一个含有“更多的”被禁止的事件，也不易躲开上述困难。因为某一经验理论所禁止的事件数也是无限的，这点可以从下列事实中ณ看出：一个被禁止的事件和任何其他事件不管它是否是被禁止的的合取又是一个被禁止的事件。
我很愿意承认有必要对理论进行纯逻辑的分析，这种分析不考虑理论的变化和展。不过，这种分析并没有阐明经验科学的那ว些我所高度评价的方面。一个系统，例如经典力学，也许是非常“科学的”；但是教条主义地坚持它的那些人——也许他们相信，他们的任务就是在它没有被最终否证以前，保卫这样一个取得成功的系统免遭批判——他们就是采用一种和批判态度相反的态度，而我认为ฦ这种批判ศ态度是科学家应该采取的。事实上，不可能产生对理论的最终否证；因为人们总是可能ม说：实验结果是不可靠的，或者说，人们断言在实验结果和理论之间存在的不一致仅仅是外观的，它们将随着我们的理解的深入而消失在反对einstein理论的斗ç争中，这两种论证都曾被用来支持ne9ton力学，在社ุ会科学领域里，类似的论证很多。如果你在经验科学领域里坚持严格的证实或者严格的否证”，你就决不会从经验中得到益处，决不会从经验中知道你是怎么错的。
第一部分科学逻辑导论
一种二择一的结构可以是有规律的，或者它也可能是多少不规则ท的。下面我将更周密地研究某些有穷二择一的这种规律性或不规则性。
55．有穷序列ต的n-自由度
让我们以有穷二择一α为例，它由一个个1和0组成，有规律地排列如下：
α11้00่1100110่01100่……在这种二择一中，我们有均等的分布，即1和0่的相对频率是均等的。如果我们用“f”1”示性质1的相对频๗率，用“f”0”示ิ性质0的相对频率，我们可写：
1αf”1＝αf”0่＝12
现在我们从α中选择在α序列ต内具有直接接在1后面的邻๑域性质的所有项。如果我们用“β”表示这种性质，我们可称为所选子序列ต“α·β“。它有这样的结构：
α·β10่1010่1010……
这个ฐ序列ต又是具有均等分布的一种二择一。而且，1้和0的相对频率都没有变化；即
2α·βf”1＝αf”1；α·βf”0่＝αf”0
用第53节采用的术语，我们可以说二择一α的主要性质不受根据性质β作的选择的影响；简言之，α不受根据β作的选择的影响。
由于α的每一个元素า或具有性质β即是1的后续者或是0่的后续者，我们可用“”表示后一性质。如果我们现在选择具有性质的元素，我们得到这样的二择一：
α·010่1010่1010่……
这个序列离均等分布稍有偏差，因为它的始末都是0因为均等分布a本身以“0’0”结尾。如果a有2000个ฐ元素，那ว么α·将有5๓00个0่，只有4๒99๗个1。这些离均等分布或其他分布的偏差ๆ只是因第一个元素或最后一个元素า而引起的，可通过使序列足够长而使这些离差变得如我们喜欢的那ว么小。由于这个理由在下面我们将置这些偏差ๆ于不顾；尤其是我们研究的是无穷序列，在那里这些离差就消失了。因此，我们说，二择一α·β有均等的分布，并且二择一α不受有性质的元素า的选择的影响。结果，α，或更确切地说，α的主要性质的相对频率都不受根据β和根据作的选择的影响；所以我们可以说，α都不受根据直接先行者的性质所作的每一种选择的影响。
显然，这种无影响是由于二择一α结构的某些方แ面所致；这些方面可把α与其他二择一区分开来。例如，二择一α．β和α．并非不受根据先行者的性质所作的选择的影响。
现在我们可以研究二择一α，看看它是否也不受其他选择，尤其是根据一对先行者的性质所作的选择的影响。例如，我们可从α中选择那些是一对1，1้的后续者的所有元素。并且我们马上看到เα并非不受四种可能的对即1，1；1，0；01；0，0中任何一对后续者的选择的影响。在这些情况下，得到的子序列都没有均等分布；反之，它们全都由不间断的块blo9s组成，即只由1，或只由0组成。
α不受根据单个先行者作的选择的影响，但是并非不受根据成对先行者的选择的影响，这个事实可用主ว观理论的观点表述如下。关于α中任何元素一个先行者性质的信息，对于这个元素า的性质问题是无关的。另一方面，关于元素的成对先行者的性质的信息则ท是高度有关的；因为给定α据以建立的定律，它使我们能够预测所讨论的元素的性质：关于元素成对先行者性质的信息，可以说给我们提供演绎出预测所需的初始条件。a据以建立的定律要求一对性质作为初始条件；因此就这些性质而言，它是“二维的”。详细说明一种性质仅是在成为复合时作为ฦ初ม始条件不充分时才是“无关的”。参阅第38๖节。
我没有忘记因果性——原因和结果——概念与预测的演绎的关系是多么เ密切，同时我要利用下列术语。以前作出的关于二择一α的断言：“α不受根据单个先行者作的选择的影响”，我现在用下列说法来表示：“α不受单个先行者任何后效的约束”，或简言之ใ，“α的自由á度为11้－free”。不像以前那么说α“不受或受根据成对先行者所作的选择的影响”，我现在说：“aທ不受或受成对先行者后效的约束”，或简言之ใ，“α的自由度是不是2”。
用自由度为1的二择一作为我们的原型，我们现在能够容易地建立也具有均等分布的其他序列，这些序列不仅不受一个先行者的后效约束，即像α一样自由度为ฦ1，而且还不受一对先行者后效的约束，即自由度为2；此后，我们可以继续达到自由度为3等等的序列。这样把我们引导到对下述是基本的一般概念。这就是不受直至某个数n的一切先行者后效约束的自由度概念；或者如我们将要说的，n-自白度概ฐ念。更精确地说，我们称一个ฐ序列“自由á度为n”，当且仅当它的主ว要性质的相对频率是“n重无影响”，即不受根据单个ฐ先行者和根据成对先行者和根据三个一组的先行者……和根据n个一组先行者作的选择的影响。
自由度为1้的二择一α可以用重复任何倍数的生成周期generaທtingperiod。
A11้00……
来建立。同样我们获得具有均等分布的自由度为2的二择一，如果我们把
B1้011100่0……
作为它的生成周期，自由á度为3的二择一从生成周期
c10110่000111้10่100……
中获得，而自由度为4的二择一从生成周期
d01100่011101้01001000่0010่11111้0011……
中获得。将会看到：面临ภ一个不规则序列的直觉印象随它n自由度的数n的增长而越强烈。
具有均等分布的一个具n自由度的二择一的生成周期必须ี包含至少2๐n＋1个元素，作为ฦ例子给定的周期，当然可以开始于不同的位置；c例如可从它的第四个元素开始，于是我们获得的不是cນ，而是
c’100่001111้0100่101……
有使序列ต的n-自由度不变的其他变换。为每一个数目n建立n-自由度序列ต生成周期的方法则在别处描述。
如果我们把下一生成周期的最初ม的n个ฐ元素加在一个ฐ自由度为ฦn的二择一上，于是我们得到一个长度为ฦ2n＋1＋n的序列。除了其他性质外，这个ฐ序列还有以下的性质：n＋1个ฐ0和1的每一种排列，即每一个ฐ可能ม的n＋1个组，至少在其中ณ生过一次。
5๓6．节段序列二项ำ式的第一形式
给定一个有穷的序列α，我们称由n个ฐ连续元素组成的α的子系列为ฦ‘’α的n长度节段”；或更简单地说，“α的n-节段”。如果除了序列α以外，还给定某个ฐ定数n，那么我们能够把α的n-节段排列在一个序列中ณ——α的n-节段序列。给定一个序列ตα，我们就可以从α的最初的n个元素的节段开始这种方式，建立一个新的序列，即α的n-节段序列。其次是α的2๐到n＋1的元素的节段。一般地说，我们把α的从x到x＋n－1้的诸元素组成的节段看作新序列的第x个元素。如此获得的新า序列可称为“α的交迭n-ๅ节段overlappingn一segments序列”。这个名称表示，新序列的任何两个连续元素即节段以这种方式交迭；使它们共有原先序列ตα的n－1元素。
现在我们通过选择可以从一个交迭节段的序列中，获得其他序列，尤其是毗邻n-节段adoiningn-segments的序列。
一个毗邻n-节段序列ต只含这样一些n-ๅ节段，它们在不交迭的α中，互相直接接续。例如开始也许是原先序列α的编号为1至n的元素า的n-节段，续在后面的是n＋1至2n，2n＋1至3n如此等等的元素的n-节段。一般来说，一个毗邻节段的序列将以α的第k个ฐ元素开始，而它的节段将包含α的编号为ฦ直至n＋k－1้，n＋k至2n＋k－1，2๐n＋k至3n＋k-1้如此等等的元素。
下面将用“αn”示α的交迭n-节段的序列，用“αn”示ิ毗邻n-节段序列ต。
现在让我们更详细一点考虑交迭节段αn的诸序列。这样一种节段的每一个ฐ元素是α的一个n－节段。我们可以把例如组成节段的n个一组的有序的0่和1้看作是αn一个元素的主要性质。或者我们可以更为简单地把它的1的数目看作是这个元素不管1和0的次序的主要性质。如果我们用“m”表示1的数目，则ท显然m≤n。
现在我们又从每一个序列αn得到一个二择一。如果我们选择一个特定的mm≤n，并将性质“m”赋予序列αn的正好有m个1所以有n－m个0的每一个元素，并且把性质“”非m赋予αn的所有其他元素的话。因此αn的每一个元素必定有这两个ฐ性质中ณ的一个或另一个。
现在让我们再次设想，给定一个ฐ具有主要性质“1้”和“0”的一个ฐ有穷二择一。设1的频率αf”1้等于p，0่的频率αf”0等于q。我们设分布是不均等的，即p≠q。
现在让这个二择一α至少有n－1้个自由度n是任意挑选的自然数。于是我们可向下列的问题：性质m在序列ตαn中出现的频๗率是多少？换言之，αnf”m的值是多少？
除了α至少有n－1个自由度外，我们什么也不假定，我们就能用初ม等算术解决这个问题。答案包含在下列公式中：
1αnf”m＝
“二项”式1的右边是由áne9ton在论述有关别的问题时提出的有时称为ne9ton公式。我将称它为“二项式的第一形式”。
由于推导出了这个公式我就不再在有穷参考类内考察频率理论。这个ฐ公式将提供给我们一个基础来讨论随机公理。
57无穷序列ต频率的假说性估计
把为n－自由度有穷序列获得的结果推广到เ用生成周期参阅第55节定义的n－自由度无穷序列ต是十分容易的。起着参考类我们的相对频率与此有关作用的一个无穷的元素序列ต可称为“参考序列ต”。它多少与vonmises意义上的“集合”相对应。
n－自由度的概念以相对频率的概念为前提；因为n－自由á度的定义要求不受影响——不受根据一定的先行者所作的选择的影响——的是一种性质在其中生的相对频率。在我们讨论有穷序列的定理中，我将暂时使用直到第64๒节相对频率极限值用f’表示概念代替有穷类的相对频率f”。只要我们把自己้限于根据某个数学规则ท建立的参考序列，这个ฐ概ฐ念的使用就不会生问题。对于这些序列我们总可以确定相应的相对频率序列是否是收敛的。相对频率极限值概念只是在没有数学规则ท只有经验规则与例如钱卜序列ต有关的的序列的情况下才会引起麻烦；因为ฦ在这些情况下，极限值概念是未定义的参阅第51节。
建立序列ต的数学规则的一个例子如下：“序列α的第n个ฐ元素应该是0่，当且仅当n可被4除”。它定义的无穷二择一是
α11้101้110……
其相对频率的极限值αf’1＝3๑／4；αf’0＝1／4๒。借助数学规则用这种方法定义แ的序列我简称为ฦ“数学序列”。
与之相对照，建立经验序列的规则是例如“序列ตα的第n个元素า将是0，当且仅当硬币9๗次掷猜出现反面时”。但是经验规则不一定总是定义随机性质的序列ต。例如，我应该把下列ต规则ท称为经验规则ท：“序列的第n个ฐ元素将是1，当且仅当第n秒从某个ฐ零时算起时，现摆p摆到这标记的左方时”。
这个ฐ例子表明有时——例如根据与摆有关的一些假说和测量——可用数学规则代替经验规则。用这种方法我们会找到เ一个数学序列，它以按我们的目的也许使我们满意，也许不能ม使我们满意的精确度接近于我们的经验序列。有可能我们的例子可用来建立这种可能获得一个ฐ其各种频率接近于那ว些经验序列的频率，在我们目前的情况下具有特殊的意义。
我把序列分为ฦ数学序列ต和经验序列ต时，我利用的是“内包”上的差别，不是“外延”上的差别。因为如果用“外延”方法，即用一个接一个地列举其元素的方法使我们得一个序列－－因此我们就只能知道它的一个有穷的片段，一个有穷的节段，不管它有多长——，那ว么就不可能ม根据这个ฐ节段的性质确定其一部分的序列ต是学序列还是经验序列ต。仅当给定一个建构规则ท——即“内包”规则ท—一时，我们就能ม判定一个序列是否是数学的还是经验数的。由于我们希望借极限值相对频๗率概念之助处理我们的无穷序列ต，我们必须把我们的研究限于数学序列，实际上就是限于相应的相对频率序列ต是收敛的那些数学序列。这种限制等于引入收敛公理。与这公理有关的问题到第63๑－66节再讨论，因为与“大数定律”一起讨论它们比较方便。
因此我们将只谈数学序列。然而我们将只谈那些数学序列ต：我们期望或推测它们就频๗率而言接近于具有似机遇或随机性质的经验序列，因为ฦ它们是我们的主要兴趣所在。但是期望或推测一个数学序列，就频率而言它接近于经验序列，不过是提出一个ฐ假说——一个关于经验序列频率的假说。