现在我们设想：给我们一个ฐ理论，代表这理论禁止的基础陈述的扇形变得越来越宽，最后只留下一条窄的扇形代表着不为这理论所禁止的基础陈述假如这理论是无矛盾的，就必定会有这样的扇形留下。像这样的理论显然很容易证伪，因为它只允许经验世界ศ有一个很小范围的可能性；因为它排除了几乎ๆ所有可设想的，即逻辑上可能的事件。它对经验世界断言如此之ใ多。它的经验内容如此之大，以至可以说很少有逃脱被证伪的机会。
确切地说，理论科学的目的就在于获得在上述意义上易于证伪的理论。它的目的在于限制允许的事件到最小的范围，假如能ม够做到的话，小到这样的程度，任何进一步的限制就会导致这理论的实际的经验的证伪。假如我们能ม成功地获得这样一个理论，那么เ这个理论就能ม描述“我们的特殊世界ศ’精确到เ理论描述所可能达到的程度；因为它会用理论科学所可能达到的最大的精确性，来从所有在逻辑上可能的经验世界类中挑选出“我们的经验”世界来。所有我们实际遭遇到和观察到的所有事件或偶事件类，而且只有这些，才称作“被允许的”。
32๐．如何比较潜在证伪者类
潜在证伪者类是无限类。直觉的“较多”和“较少”，不要任何特殊保证条件就可应用于有限类，却不能同样地应用于无限类。
我们不容易躲开这个困难。即使我们为作比较而考虑被禁止的事件类，而不考虑被禁止的基础陈述或偶事件，为了弄清其中ณ哪一个含有“更多的”被禁止的事件，也不易躲开上述困难。因为某一经验理论所禁止的事件数也是无限的，这点可以从下列事实中看出：一个被禁止的事件和任何其他事件不管它是否是被禁止的的合取又是一个被禁止的事件。
我将考虑三种方法，即使在无限类的情况下，也给予这直觉的“较多”或“较少”一个ฐ精确的意义，以便找出其中哪一种可用来比较被禁止的事件类。
1类的基数或幂的概念。这个概念不能帮助我们解决我们的问题，因为很容易看出，潜在证伪者类对所有的理论有着同一的基数。
2维的概念。立方体以某种方式包含比直线更多的点，这个模糊的直观的观念，能够通过集合论的“维”概念以逻辑上无懈า可击的术语清楚地表述。这种概念对点的类或集是按照在它们的元素า之间的“邻域关系”的丰ถ度加以区别的：更高维的集具有更丰ถ富的领域关系。维的概ฐ念，使我们能比较“较高”和“较低”维的类，这里将被用来处理比较可检验度的问题。这是可能的，因为基础陈述通过和其他基础陈述的合取结合起来又产生基础陈述，这个新า产生的基础陈述比它们的组成部ຖ分“具有更高的复合度”；而基础陈述的这个复合度可以和维的概念联系起来。不过，必须使用被允许的事件的复合而不是被禁止的事件的复合。理由á是，一个理论禁止的事件可以有任何复合度；另一方面，某些被允许的陈述之所以被允许，只是因为ฦ它们的形式，或者更确切地说，因为它们的复合度太低，以致使它们不能ม和该理论相矛盾；可以利用这个事实来比较维。
3๑子类关系。设类α的所有元素也是类β的元素า，因而α是β的子类符号表示：αβ。那么，或者β的所有元素也是α的元素——在这种情况下，我们说这两ä类具有相同的外延或者说它们是等同的——或者β的有些元素不属于a。在后一种情况下，不属于α的β的元素า形成“余类”或称为α对于β的补类，α是β的一个ฐ真子类。子类关系和直觉的“较多”和“较少”非常对应，但是，它的不利之处是，这种关系只能用来比较两个互相包含的类。所以，假如两个潜在证伪者类不是互相包含，而是互相交叉，或者它们没有共同的元素，那ว么เ，相应的理论的可证伪度就不能用子类关系来比较；它们对于这种关系来说，是不可比的。
33๑．用子类关系比较可证伪度
暂时引进下列定义，以后在讨论理论的维数时将加以改进。
1้说陈述x比陈述y“更高度可证伪”或“更可检验”，或用符号表示：fsbx＞fsby，当且仅当x的潜在证伪者类包含作为一个真子类的y的潜在证伪者类。
2如果两个陈述x和y的潜在证伪者类同一，则它们有相同的可证伪度，即：fsbx＝fabຘy。
3如果这两个陈述的潜在证伪者类并不作为真子类相互包含，则这两个陈述没有可比的可证伪度fsbx‖fsbຘy。
假如1适用，总是有一个非空的补类。在全称陈述的情况下，这个补类必定是无限的。因此，两ä个严å格全称理论不可能有这样的区别：其中一个ฐ理论禁止为ฦ另一个理论所允许的有限数量的单个ฐ偶事件。
所有重言的和形而上学的陈述的潜在证伪者类都是空的。所以，按照2，它们是同一的。因为，空类是所有类的子类，因而也是空类的子类，所以，所有空类是同一的；这一点可以表示为：只存在一个ฐ空类。如果我们用‘e’表示经验陈述，用‘t’或‘m’分别表示重言的或形而上学的陈述例如，纯粹存在陈述，那么我们可以给重言的或形而上学的陈述一个零可证伪度，我们写作：fsbt＝fsbm＝0fsbe＞0。
自相矛盾的陈述可以用c来表示ิ，可以说是具有所有在逻辑上可能的基础陈述作为它的潜在证伪者类。这个意思就是说，任何陈述，就其可证伪度而言，都是和自相矛盾陈述可比的。我们得出：fsbc＞fsbe＞0。如果我们任意地设fsbc＝1，即任意地把1้赋予某一目相矛盾的陈述的可证伪度，那么我们甚至可以用条件1้＞fsbe＞0่来定义经验陈述e。按照这个公式，fsbe总是在0่和1之间的间隔内，不包括两端，即在以这两ä个数字为ฦ界的“开放间隔”内。由于把矛盾陈述和重言陈述形而上学陈述也一样排除在外，这个公式同时表达了无矛盾性的要求和可证伪性的要求。
3๑4．子类关系的结构逻辑概率
我们已经用子类关系对两ä个陈述的可证伪度的比较下了定义แ。因此，可证伪度的比较就具有子类关系的所有结构性质。可比较性问题可以用一个图图1来说明。在这个ฐ图中，左边画的是某些子类关系，右边画的是相应的可检验性关系。右边的阿拉伯数字对应于左边的罗马数字，某一罗马数字表示相应的阿拉伯数字所表示的那ว个陈述的潜在证伪者类。在这个ฐ图里表示ิ可检验度的箭头，从具有更可检验的或更可证伪的陈述走向不那ว么可检验的陈述因此它们相当准确地与可推导性箭头相当：参看第35节。
从图中可以看出，各种子类序列可加以区别和追溯，例如，序列i－Ⅱ－Ⅳ或i－Ⅲ－v；并且可以看出，引进新的中间类，可以使得这些序列更加“密集”。所有这些序列ต在这个特殊情况下都始于1和终于空类，因为空类被包含在每一个ฐ类里在左ุ面的图里，不可能画出空类，只是因为它是每一个类的子类，因此可以说必须出现在每一个ฐ地方。如果我们选择类i作为所有可能的基础陈述类，那ว么i就变成矛盾陈述c，而0相当于空类就可以表示重言陈述t。从i到空类，或者从cນ到t，可能通过各种途径；从右边的图中ณ可以看出，某些途径可以互相交叉。因此我们可以说，这种关系的结构是一种网络结构由箭头或子类关系排列ต成的“序列的网络”。在节结点例如，陈述4๒和5网络部分地联结起来。只有在普遍类和空类里，对应于矛盾陈述cນ和重言陈述t；关系才完全联结起来。
是否可能把各种陈述的可证伪度排列在一个标尺上，即把按照它们的可证伪度排列的数字同各种陈述相关起来？显然，我们不可能用这种方法把所有的陈述排列起来，因为，如果能够的话，我们就会随意地使得那些不可比的陈述成为可比的。但是，我们完全可以从网络中挑选出某个序列，用数字来表示ิ该序列ต陈述的次序。这样做时，我们必须给离矛盾陈述cນ较近的陈述的数字，比给离重言陈述t较近的陈述高。由于我们已经分别ี以0和1赋予重言陈述和矛盾陈述，我们就必须以真分数赋予所挑选的序列中的经验陈述。
然而，我并不真正想挑选出某一个序列来。赋予这序列中的陈述以数字也是完全任意的。不过，可能给以分数这一事实有很大意义，特别是因为它说明了在可证伪度和概率观念之ใ间的联系。每当我们能ม比较两ä个陈述的可证伪度时，我们就能说，可证伪度较小的陈述由于它的逻辑形式，也是概率较大的，这种概ฐ率我称为ฦ“逻辑概率”。不可把它和在博奕论和统计学中使用的数值概率相混淆。陈述的逻辑概ฐ率和它的可证伪度是互补的：它随可证伪度的减少而增加。逻辑概率1相当于可证伪度0，反过来也是如此。具有更可检验度的陈述，即具有更高可证伪度的陈述，是在逻辑上更少可几的陈述；而可检验性较差的陈述是在逻辑上更可几的陈述。
在第72节中将看到，数值概率能和逻辑概率联结起来，因而也能ม和可证伪度联结起来。有可能把数值概率解释为适用于从逻辑概ฐ率关系中ณ挑选出来的子系列的东西，可以在频๗率估计的基础上为ฦ这子系列规定一种测量系统。
这些对可证伪度比较的考察不仅适用于全称陈述或理论系统；它们也可推广应用于单称陈述。例如，它们适用于和初ม始条件合取的理论。在这种情况下，潜在证伪者类不可被误认为ฦ事件类——同型的基础陈述类——，因为它是偶事件类这点和将在第72节中分析的逻辑概率和数值概率之ใ间的联系有某种关系。
35．经验内容、衍推和可证伪度
在第31节中ณ说到เ，我称之为陈述的经验内容的东西随着它的可证伪度而增加：陈述禁止越多，它对经验世界所说越多参看第6节。我称为“经验内容”的东西和比如，9aທp定义的“内容”概念有密切的关系，但不是同一的。对于后者，我使用术语“逻辑内容”，以与经验内容相区别ี。
我定义陈述p的经验内容为它的潜在证伪者类参看第31节。逻辑内容，借可推导性概念之助，被定义为从该陈述中可推导出的所有非重言陈述类可以称作它的“后承类”。所以，p的逻辑内容至少等于即大于或等于陈述q的逻辑内容，如q可从p中ณ推导出来符号表示：如‘p→q’。如果可推导性是相互的符号‘p←→q’，则说p和q有相同的内容如q可从p中ณ推导出，而p不能ม从q中推导出，则q的后承类，一定是p的后承类的一个真子集；则ทp具有更大的后承类，并且从而具有更大的逻辑内容或者逻辑力。
我的经验内容的定义的一个推断ษ是，两个陈述p和q的逻辑内容和经验内容的比较导致相同的结果，假如作比较的陈述不包含形而上学要素的话。因此我们要求：a有着相等的逻辑内容的两个陈述也必定具有相等的经验内容；b陈述p的逻辑内容大于陈述q的逻辑内容，也必定具有更大的经验内容，或者至少相等的经验内容；最后c假如陈述p的经验内容大于陈述q的经验内容，那么它的逻辑内容必定更大，否则就是不可比的。在b里必须加上“或者至少相等的经验内容”，这个限制因为p例如可能ม是q和某个纯粹存在陈述或其他某类形而上学陈述我们必经赋以一定的逻辑内容的合取；因为在这种情况下，p的经验内容将不大于q的经验内容。相应的考虑使得在cນ上加上“否则ท就是不可比的”这条限制成为必要。
因此，在比较可检验度或经验内容度时，我们通常——就是说，在纯粹经验陈述的情况下——达到和比较逻辑内容或可推导性关系时所达到的相同的结果。因此，可能把可证伪度的比较在很大程度上建立在可推导性关系的基础之上。两种关系都表明网络的形式，这网络在自相矛盾陈述和重言陈述里完全地联结起来参看第3๑4节。这一点可以下列说法表示ิ：自相矛盾陈述衍推每一个ฐ陈述，而重言陈述为每一个陈述所衍推。而且，我们已๐经看到，经验陈述可被描述成这样的陈述：它们的可证伪度落在以自相矛盾陈述的可证伪度为一端，以重言陈述的可证伪度为另一端的开放间隔中ณ间。相同地，一般的综合陈述包括非经验的陈述也由于衍推关系，被放置在自相矛盾陈述和重言陈述之间的开放间隔中间。
因此，和所有非经验的形而上学的陈述都是“无意义的”实证主义命题相对应的就会是这样的命题：我在经验的陈述和综合的陈述之间，或在经验内容和逻辑内容之ใ间所作的区别ี是多余的；因为所有综合陈述必须是经验的——即所有都是真正的而不只是伪陈述。但是，我认为，这种使用词的方式，虽然是可行的，并不能把问题澄清，反而把问题混淆了。
因此，我把对两个ฐ陈述的经验内容所作的比较，看作等同于对它们的可证伪度所作的比较。这就使得我们的方法论规则ท，即应该选择那些能经受最严格的检验的理论参看第2๐0节中ณ反约定主义的规则，等同于这样的规则ท：选择具有最大可能的经验内容的理论。
36๔．普遍性水平和精确度
还有其他的方แ法论要求，可以还原为对最大可能的经验内容的要求。其中两个要求是突出的：对可能达到เ的最高水平或程度的普遍性的要求，和对可能ม达到的最高精确度的要求。
考虑到这些要求，我们来考察下列可设想的自然律：
p：所有在封闭轨道中运行的天体作圆形运动，或者更简洁地说，所有天体轨道是圆。
q：所有行星轨道是圆。
r：所有天体轨道是椭圆。
s：所有行星轨道是椭圆。
在这四个陈述中存在的可推导性关系在我的图中用箭头表示。从p可以得出所有其他的陈述，从q可以得出s，s也可从r得出；所以s可以从所有其他陈述得出。
从p移动到q，普遍性程度减少，q表达的比p少，因为行星轨道形成天体轨道的一个真子类。因此，p比q更易于被证伪：如q被证伪，p也被证伪，但是反之ใ不然。从p移动到เr，谓语的精确度减少：圆是椭圆的其子类；如r被证伪，p也被证伪，但是反之不然。相应的话可以应用到เ其他的移动上：从p移动到s，普遍性程度和精确度二者都减少；从q到s，精确度减少；而从r到s，普遍性程度减少。和较高程度的普遍性或精确度相对应的是较大的逻辑的，或经验的内容，因而有较高的可证伪度。
全称陈述和单称陈述二者都可以写成“全称条件陈述”的形式或者经常称作“一般蕴涵”。假如我们把我们的四个ฐ定律写成这个形式，那ว么我们也许能ม更容易和更准确地看到两个陈述的普遍性程度和精确度是如何进行比较的。
全称条件陈述参看第1้4节注可以写成下列ต形式：‘xφx→fx’，或者读为：“所有x的值，满足陈述函项ำφx的，也满足陈述函项fx”。我们的图中ณ的陈述s产生下列例子：“xx是一颗行星的轨道→x是一个椭圆”的意思是：“不论x是什么，如果x是一颗行星的轨道，则x是一个椭圆”。设p和q是写成这种“标准”形式的两个ฐ陈述；那么我们可以说，p比q有着更大的普遍性，如果p的前件陈述函项可以用‘φpx’来表示是重言地蕴含于或可合乎逻辑地推导于，但是不等同于q的相应的陈述函项可以用‘φqx’来表示；或换言之，如果‘xφqx→φpx’是重言的或逻辑上真的。同样，我们说，p比q有着更大的精确性，如果‘xfpx→fqx’是重言的。即如果p的谓词或者后件陈述函项ำ比q的谓词更窄，这就意味着：p的谓词衍推q的谓词。
这个定义可以推广到เ有着不止一个ฐ变量的陈述函项中。基本的逻辑变换从它导致我们已断ษ言过的可推导性关系，这种关系可以用下列规则来表示ิ：如果两个陈述的普遍性和精确性都是可比的，那么，较不普遍或较不精确的陈述可以从较普遍或较精确的陈述中ณ推导出来；当然，除非一个更普遍而另一个更精确如在我的图中q和r的情况。
现在我们可以说，我们的方法论决定——有时被形而上学地解释成因果性原理——应不让任何事情得不到解释，即总是试图从其他具有更高普遍性的陈述中推导出陈述来。这个决定是从可达到的最高普遍性程度和精确度的要求中推导出来的，而这个要求可以还原成这样的要求或规则：应该选择能经受最严格检验的理论。
37．逻辑域略论测量理论
如果陈述p，由于具有更高水平的普遍性或精确性，比陈述q更易于证伪，那ว么，为p所允许的基础陈述类是为q所允许的基础陈述类的一个ฐ真子类。适用于被允许的陈述类之ใ间的子类关系，是适用于被禁止的陈述潜在证伪者类之间的子类关系的对立物：这两ä个关系可以说是相反的也许可以说是互补的。为一个陈述所允许的基础陈述类，可以称作它的“域”。一个陈述允许实在有的“域”，可以说是它允许实在“自由活动”的范围或者自由度。域和经验内容参看第35节是相反或互补的概念。因此，两个ฐ陈述的域的相互关系和它们的逻辑概率的相互关系一样参看第34、72๐节。
我引进域概念，因为ฦ它帮助我们处理和测量的精确度相联系的某些问题。假定两个ฐ理论的推断在所有的应用领ๆ域里区别是如此之小，以至在计算可观察事件之ใ间的细微差别，由于在我们的测量中可达到的精确度不够高而不能检测到。因此，不先改进我们的测量技术，就不可能用实验在这两个理论中作出判定。这表明，现行的测量技术决定了一定的域——一个范围，在这个范围内观察其间的差别ี为理论所允许。
因此，理论应该有可达到的最高可检验度因此只允许最窄的域，这一规则衍推这样的要求：测量的精确度应尽可能提高。
人们经常说，所有测量都在于确定点的重合。但是任何这种确定只能在某些限度内才是正确的。在严å格的意义上，不存在点的重合。两个ฐ物理“点”——比如，在量杆上的一个标记，在被测量物体上的另一个标记——它们至多能做到靠得很近；但不能ม重合，即不能ม合并成一点。不管在其他场合这个ฐ说法是如何的平凡，它对测量的精确性来说是重要的。因为它使我们想到เ，测量应该用下列术语来描述。我们现，被测量的物体的点落在量杆的两个ฐ级别ี或标记之间，或者比方แ说，我们的测量仪器的指针落在刻度的两级之ใ间。然后我们可以或者把这些级别或标记看作我们误差ๆ的两个最佳界ศ限，或者去估计比方说指针在刻๑度间隔内的位置，因而得到一个比较准确的结果。人们可以这样描述这后一情况：我们使指针ฤ落在两个想象中ณ的分级标记之ใ间。因此，一个ฐ间隔、一个ฐ域总是存留着。物理学家的习惯是每一次测量都要估计这个间隔。因此，例如他们效法milliken用静电单位测量电子的基本电荷，得出e＝4๒．774๒·10-10，加上：不精确范围是±o．0่05·1้0－10่。但是这里生一个问题。人们用两个ฐ标记——即间隔的两个边界——来代替刻๑度上的一个标记的目的究竟是什么，对于这两个边界的每一个，又一定会提出同样的问题：对于这间隔的边界，什么是准确性的界限呢？
给出间隔的边界ศ显然是无用的，除非这两个边界ศ本身能以大大过我们对原来的测量所希望达到เ的精确度确定下来；即在它们不精确的间隔内确定下来，这些间隔因此应该比它们为原来的测量值确定的间隔小几个ฐ数量级。换句话说，间隔的边界ศ不是截然分明的，而实际上是很小的间隔，这个间隔的边界本身仍然是更小得多的间隔，等等。就这样我们达到了可以称为ฦ间隔的“不分明的边界ศ”或“缩聚边界”的观念。
这些考虑并不以误差的数学理论和概率论为前提。这走的是另一条迂迴的路；通过分析测量间隔的观念，这些考虑提供了一个背景，如果没有这个ฐ背景，误差的统计理论就没有什么意义。如果我们测量一个量许多次，我们得到的数值以不同的密度分布在某一间隔——精确性的间隔依赖现行的测量技术。仅当我们知道我们追求什么——即这个间隙的缩聚边界ศ——我们才能把误差理论应用到这些数值上，并确定间隔的边界。
现在我想所有这些多少说明了使用测量方法对于纯定性方法的优越性。即使在定性估计的情况下，例如对一个乐音的音高的估计，有时也可能为这种估计给出一个准确性的间隔，这是正确的；但是，没有测量，任何这样的间隔只能是很模糊的，因为在这种情况下，不能ม应用缩聚边界ศ的概念。这个概念只能ม在我们可以谈到เ数量级的地方因而只能在规定了测量方法的地方แ才适用。我将在第68๖节中ณ，联系到概率论，进一步运用精确性间隔的缩聚边界这一概ฐ念。
38．联系维来比较可检验度
直到现在为止，我们仅在理论可以借助子类关系来作比较的范围内来比较它们的可检验度。在某些情况下，这个ฐ方แ法在指导我们选择理论方面很成功。因此现在我们可以说，在第20节中举例说到的pauli的不相容原理的确证明是一个ฐ令人满意的辅助假说。因为ฦ它极大地增加了旧ງ的量子论的精确度，因而增加了可检验度如新า量子论的相应的陈述断ษ言：电子具有反对称状态，而不带电粒子和某些带大量电å荷的粒子具有对称状态。
然而，对于很多目的来说，用于类关系的方法来进行比较是不够的。因此，例如frank指出，具有高水平的普遍性的陈述——例如plaທnck公式里的能量守恒原理——易于变成重言的，失去它们的经验内容，除非初始条件可以“……用少数测量，……即依靠系统状态特有的很少几个量值”来确定。关于必须确定和代入公式的参量的数目的问题是不能借助子类关系的帮助来阐明的，尽管它是显然与可检验性和可证伪性以及它们的程度密切联系着的。确定初始条件需要的量值越少，足以使理论被证伪的基础陈述就越不是复合的；因为起证伪作用的基础陈述，是由á初始条件和推导出的预见的否定二者的合取组成的参看第28节。因此，通过弄清一个基础陈述必须有的最小复合度如果它能ม够与理论矛盾的话，就有可能比较理论的可检验度；只要我们能找到一种方法来比较基础陈述以弄清它们是否更或不那么เ复合的，即是否是大量或小量比较简单的一种基础陈述的复合物。所有复合度没有达到必要的最低限度的基础陈述，不管它们内容如何，只是由于它们的低复合度，就都是为ฦ理论所允许的。
但是，任何这样的纲领都面临着困难。因为一般地说，单靠检查，是不容易说出一个ฐ陈述是否是复合的，即是否等于更简单的陈述的合取。在所有的陈述里，都出现普遍名称，通过分析它们，人们往往能把陈述分解为合取的组分例如，陈述：“在k地有一玻璃杯水”也许可以被分析和分解成两个陈述：“在k地有一玻璃杯盛着一种液ຂ体”和“在k地有水”。用这种方法来分解陈述，没有希望找到任何自然的终点，特别ี是因为，我们为了使进一步分解成为可能，总能引进新า的已定义的普遍名称。
为了使得所有基础陈述的复合度成为ฦ可比的，可以建议：我们必须ี选择一定的陈述类作为基本的或原子的陈述，然后通过合取和其他的逻辑运算就能够从这些基本或原子陈述中得到所有其他陈述。如果成功，我们就应用这种方法来定义复合的“绝对零度”，然后可以把任何陈述的复合表示为可以说是绝对复合——度。但是由于上面已๐经说过的理由，这样一种程序必须被认为是非常不适当的；因为它会给科学语言的自由使用施加苛刻的限制。
然而，比较基础陈述的复合度，因而也比较其他陈述的复合度，仍然是可能的。可以这样做：任意选择一个相对的原子陈述类，我们把它作为进行比较的基础。这样一种相对原子陈述类可以用生成的图式或母式来定义例如，“在……地方为了……有一个量器，它的指针指在刻๑度……和……之间”。然后，我们可以把通过代入确定值，从这种母式或者陈述函项中得到เ的所有陈述类定义แ为相对原子的，因而定义为ฦ等复合的。这些陈述类，与所有可从这些陈述形成的合取一起，可以称之ใ为一个“场”。一个场的n个不同的相对原子陈述的合取，可以称之为“这场的n组复合”，并且我们可以说，它的复合度等于数n。